حل تمرین صفحه 90 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 1 صفحه 91 ریاضی دوازدهم برای اینکه یک تابع در نقطه‌ای پیوسته باشد ولی مشتق‌پذیر نباشد، باید در آن نقطه **گوشه (Corner)** یا **مماس قائم** داشته باشد. $$\mathbf{\text{نقطه مورد نظر: } x = 2}$$ ### 1. تابع $f(x)$ (دارای گوشه) تابع قدر مطلق در ریشه خود گوشه دارد. $$\mathbf{f(x) = |x - 2|}$$ * **پیوستگی:** $\lim_{x \to 2} |x - 2| = 0$ و $f(2) = 0$. پس $f$ در $x=2$ پیوسته است. * **مشتق‌پذیری:** \begin{itemize} \item $f'_+(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|2+h - 2| - |2 - 2|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$ \item $f'_-(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|2+h - 2| - |2 - 2|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$ \end{itemize} \text{چون } f'_+(2) \ne f'_-(2) \text{، } f \text{ در } x=2 \text{ مشتق‌پذیر نیست.} ### 2. تابع $g(x)$ (دارای مماس قائم) تابع رادیکالی با فرجه فرد در ریشه خود مماس قائم دارد. $$\mathbf{g(x) = \sqrt[3]{x - 2}}$$ * **پیوستگی:** توابع رادیکالی با فرجه فرد در دامنه خود ($\mathbb{R}$) پیوسته هستند. $g(2) = 0$. * **مشتق‌پذیری:** \begin{itemize} \item $g'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 2)^2}}$ \item $g'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 2)^2}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$ \end{itemize} \text{چون مشتق به بی‌نهایت میل می‌کند، } g \text{ در } x=2 \text{ مشتق‌پذیر نیست.}

حل تمرین 2 صفحه 91 ریاضی دوازدهم مشتق‌پذیری در یک نقطه، مستلزم برابری مشتق چپ و راست است: $f'(a) = f'_-(a) = f'_+(a)$. ### الف) $f(x) = \begin{cases} -x & x < 0 \\ x^2 & x \ge 0 \end{cases}$ در $A(0, 0)$ 1. **بررسی پیوستگی:** $f(0) = 0$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. (پیوسته است.) 2. **مشتق چپ ($x \to 0^-$):** از ضابطه $f(x) = -x$ استفاده می‌شود. $$f'_-(0) = \frac{d}{dx}(-x)|_{x=0} = -1$$ 3. **مشتق راست ($x \to 0^+$):** از ضابطه $f(x) = x^2$ استفاده می‌شود. $$f'_+(0) = \frac{d}{dx}(x^2)|_{x=0} = 2x|_{x=0} = 0$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } f'_-(0) = -1 \ne f'_+(0) = 0 \text{، } f'(0) \text{ وجود ندارد. (گوشه در } A(0, 0) \text{)}}$$ --- ### ب) $f(x) = \begin{cases} 1 & x \le 1 \\ \frac{1}{x} & x > 1 \end{cases}$ در $A(1, 1)$ 1. **بررسی پیوستگی:** $f(1) = 1$. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{1} = 1$. (پیوسته است.) 2. **مشتق چپ ($x \to 1^-$):** از ضابطه $f(x) = 1$ استفاده می‌شود. $$f'_-(1) = \frac{d}{dx}(1)|_{x=1} = 0$$ 3. **مشتق راست ($x \to 1^+$):** از ضابطه $f(x) = \frac{1}{x}$ استفاده می‌شود. $$f'_+(1) = \frac{d}{dx}(x^{-1})|_{x=1} = -x^{-2}|_{x=1} = -\frac{1}{1^2} = -1$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } f'_-(1) = 0 \ne f'_+(1) = -1 \text{، } f'(1) \text{ وجود ندارد. (گوشه در } A(1, 1) \text{)}$$ --- ### پ) $f(x) = \sqrt{x}$ در $A(4, 2)$ 1. **مشتق تابع:** $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. 2. **مشتق چپ و راست (در توابع هموار، مشتق چپ و راست برابرند.):** $$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$$ **توجه:** این تابع در $x=4$ **مشتق‌پذیر است** ($f'(4) = 1/4$). سؤال اصلی احتمالاً به $\mathbf{x=0}$ اشاره دارد (که در آنجا مماس قائم و مشتق‌پذیر نیست)، یا سؤال اصلی دارای خطا است. با فرض اینکه $A$ اشاره به $x=4$ دارد: $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ تابع } f(x) = \sqrt{x} \text{ در } x=4 \text{ مشتق‌پذیر است، زیرا } f'_-(4) = f'_+(4) = \frac{1}{4} \text{ است.}$$ (اگر سوال اصلی $\mathbf{A(0, 0)}$ بود، مشتق $f'(0)$ موجود نیست زیرا $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2\sqrt{x}} = +\infty$).